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【题目】已知恒等式(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n
(1)求a1+a2+a3+…+a2n和a2+2a3+22a4+…+22n2a2n的值;
(2)当n≥6时,求证: a2+2A a3+…+22n2 a2n<49n2

【答案】
(1)解:令x=0,则a0=1.

令x=1,则a0+a1+a2+…+a2n=3n,∴a1+a2+…+a2n=3n﹣1.

∵(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n

∴两边对x求导可得:n(1+x+x2n1=a1+2a2x+…+2na2nx2n1

令x=0,则n=a1

由(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n

令x=2,则 ×7n= + +a2+2a3+…+22n2a2n

∴a2+2a3+…+22n2a2n=


(2)证明:∵(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n

∴两边对x求导可得:n(1+x+x2n1(1+2x)=a1+2a2x+…+2na2nx2n1

再一次求导可得:n[(n﹣1)(1+2x)2+2](1+x+x2n2=2a2+3×2a3x+…+2n(2n﹣1)a2nx2n2

=k(k﹣1),

令x=2可得: a2+2A a3+…+22n2 a2n=n[25(n﹣1)+2]×7n2

n≥6时,n[25(n﹣1)+2]<7n2

a2+2A a3+…+22n2 a2n=n[25(n﹣1)+2]×7n2<49n2


【解析】(1)令x=0,则a0=1.令x=1,a0+a1+a2+…+a2n=3n , 可得a1+a2+…+a2n . 由(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n . 两边对x求导可得:n(1+x+x2n1=a1+2a2x+…+2na2nx2n1 . 令x=0,可得n=a1 , 由(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n . 令x=2,可得 ×7n= + +a2+2a3+…+22n2a2n . 即可得出.(2)(1+x+x2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n . 由(1)可得:n(1+x+x2n1(1+2x)=a1+2a2x+…+2na2nx2n1 , 两边对x求导可得:n[(n﹣1)(1+2x)2+2](1+x+x2n2=2a2+3×2a3x+…+2n(2n﹣1)a2nx2n2 , 令x=2可得: a2+2A a3+…+22n2 a2n=n[25(n﹣1)+2]×7n2 , n≥6时,n[25(n﹣1)+2]<7n2 , 即可证明.

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优秀人数

非优秀人数

总计

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30

20

50

乙班

25

25

50

总计

55

45

100

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