Question

13．对函数$f（x）=\frac{ax+1}{x-1}$（其中a为实数，x≠1），给出下列命题；
①当a=1时，f（x）在定义域上为单调递减函数；
②对任意a∈R，f（x）都不是奇函数；
③当a=1时，f（x）为偶函数；
④关于x的方程f（x）=0最多有一个实数根，
其中正确命题的序号为②④，（把所有正确的命题序号写入横线）

Answer 1

分析 ①，当a=1时，f（x）=1+$\frac{2}{x-1}$，是由y=$\frac{2}{x}$向右，向上平移一个单位得到的，不是单调函数．
②，用分离常数法转化，f（x）=$\frac{1+a}{x-1}$，易得其图象关于（1，a）对称，图象不关于原点对称；
③，当a=1时，f（x）=1+$\frac{2}{x-1}$，易得其图象关于（1，1）对称，不是偶函数；
④，方程f（x）=0⇒ax+1=0且x-1≠0，⇒最多有一个实数根，故正确；

解答 解：对于①，当a=1时，f（x）=1+$\frac{2}{x-1}$，是由y=$\frac{2}{x}$向右，向上平移一个单位得到的，不是单调函数，∴不正确．
对于②，用分离常数法转化，f（x）=$\frac{1+a}{x-1}$，易得其图象关于（1，a）对称，若为是奇函数，则图象关于原点对称，∴正确；
对于③，当a=1时，f（x）=1+$\frac{2}{x-1}$，易得其图象关于（1，1）对称，不是偶函数，∴不正确；
对于④，方程f（x）=0⇒ax+1=0且x-1≠0，⇒最多有一个实数根，故正确；
故答案为：②④

点评 本题考查了命题的真假判定，涉及到f（x）=$\frac{ax+b}{cx+d}$型函数的性质，属于基础题．