Question

9．如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合，D（1，$\frac{3}{2}$）是椭圆上一点，椭圆左顶点为C，过F的直线与椭圆交于A、B两点，直线CA、CB与直线1：x=4交于点M、N．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$的值．

Answer 1

分析 （I）一方面通过抛物线y²=4x的焦点F（1，0）可知a²-b²=1，另一方面通过将点D（1，$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程可知$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，联立计算可知a²=4、b²=3，进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知C（-2，0），显然直线AB的斜率不为零，分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，①当直线AB的斜率不存在时可知直线AB方程为x=1，从而A（1，$\frac{3}{2}$）、B（1，-$\frac{3}{2}$），计算即得结论；②当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为：y=k（x-1）、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），进而在直线CA：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2）、直线CB：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$（x+2）令x=4可知M（4，6•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$）、N（4，6•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$），通过联立直线AB与椭圆方程、利用韦达定理可知x₁+x₂、x₁x₂，利用向量数量积的坐标运算可知$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=0．

解答 解：（I）∵抛物线y²=4x的焦点F（1，0），
∴a²-b²=1，①
又∵D（1，$\frac{3}{2}$）是椭圆上一点，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，②
联立①②可知：a²=4，b²=3，
∴所求椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）由（I）可知C（-2，0），显然直线AB的斜率不为零，
①当直线AB的斜率不存在时，即直线AB方程为：x=1，
易知A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$），
∴直线CA：y=$\frac{\frac{3}{2}-0}{1+2}$（x+2），直线CB：y=$\frac{-\frac{3}{2}-0}{1+2}$（x+2），
即直线CA：y=$\frac{1}{2}$（x+2），直线CB：y=-$\frac{1}{2}$（x+2），
分别在上述两个方程中令x=4可知：M（4，3）、N（4，-3），
∴$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=（4-1，3-0）•（4-1，-3-0）
=（3，3）•（3，-3）
=0；
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为：y=k（x-1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y_i=k（x_i-1）、$\frac{{{x}_{i}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{i}}^{2}}{3}=1$（其中i=1、2），
∴直线CA：y=$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}+2}$（x+2），直线CB：y=$\frac{{y}_{2}-0}{{x}_{2}+2}$（x+2），
即直线CA：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），直线CB：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$（x+2），
分别在上述两个方程中令x=4可知：M（4，6•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$）、N（4，6•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-k}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，消去y整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=（4-1，6•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$-0）•（4-1，6•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$-0）
=9+36•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$
=9+36•$\frac{{k}^{2}[{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1]}{{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$
=9+36k²•$\frac{\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+1}{\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}+2•\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+4}$
=9+36k²•$\frac{4{k}^{2}-12-8{k}^{2}+3+4{k}^{2}}{4{k}^{2}-12+16{k}^{2}+12+16{k}^{2}}$
=9+36k²•$\frac{-9}{36{k}^{2}}$
=0；
综上所述，$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=0．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．