【题目】圆锥如图①所示,图②是它的正(主)视图.已知圆的直径为, 是圆周上异于的一点, 为的中点.
(I)求该圆锥的侧面积S;
(II)求证:平面⊥平面;
(III)若∠CAB=60°,在三棱锥中,求点到平面的距离.
【答案】(1);(2)参考解析;(3)
【解析】试题分析:由圆锥的正视图可知,圆锥的底面直径为2,高为2,(1)所以圆锥的母线长,由圆锥的侧面积公式.本小题的关键是应用根据三视图得到圆锥的半径以及圆锥的高,从而运用圆锥的侧面积公式.
(2)欲证平面PAC平面POD.由判定定理可知,转化为线面垂直.通过观察确定直线AC垂直平面PDO.由已知即可得到结论.
(3)点A到平面PCB的距离,,利用,分别计算出.即可得到点A到平面PCB的距离.
试题解析:(1)由正(主)视图可知圆锥的高,圆的直径为,故半径.∴圆锥的母线长,
∴圆锥的侧面积.
(2)证明:连接,∵, 为的中点,
∴.∵, ,∴.又,
∴.又,平面平面
(3),又,利用等体积法可求出距离,
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【题目】有关命题的说法错误的是( )
A.若p∨q为假命题,则p、q均为假命题
B.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
C.命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0”
D.对于命题p:x≥0,2x=3,则¬P:x<0,2x≠3
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【题目】已知抛物线x2=4y.
(1)求抛物线在点P(2,1)处的切线方程;
(2)若不过原点的直线l与抛物线交于A,B两点(如图所示),且OA⊥OB,|OA|=|OB|,求直线l的斜率.
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【题目】如图,已知点在圆柱的底面圆上,为圆的直径.
(1)若圆柱的体积为,,,求异面直线与所成的角(用反三角函数值表示结果);
(2)若圆柱的轴截面是边长为2的正方形,四面体的外接球为球,求两点在球上的球面距离.
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【题目】某避暑山庄拟对一个半径为1百米的圆形地块(如图)进行改造,拟在该地块上修建一个等腰梯形,其中,,圆心在梯形内部,设.当该游泳池的面积与周长之比最大时为“最佳游泳池”.
(1)求梯形游泳池的面积关于的函数关系式,并指明定义域;
(2)求当该游泳池为“最佳游泳池”时的值.
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【题目】某公司租用一个门店作展馆,准备对其公司生产的某型产品进行为期一年的展出。为此,需对门店进行装修,展出结束,门店不再使用,现市面上有某品牌的型和型两种节能灯,假定型节能灯使用寿命都超过小时,经销商对型节能灯使用寿命进行了调查统计,得到如下频率分布直方图:
门店装修时,需安装该品牌节能灯支(同种型号).经了解,型瓦和B型瓦的两种节能灯照明效果相当,都适合安装。已知型和型节能灯每支的价格分别为元、元,当地商业电价为元/千瓦时。假定该店面一年周转期的照明时间为小时,若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换。(用频率估计概率)
(1)根据频率直方图估算B型节能灯的平均使用寿命;
(2)根据统计知识,若一支灯管一年内需要更换的概率为,那么支灯管一年内估计需要更换支.若该商家新店面全部安装型节能灯,试估计一年内需更换的支数;
(3)若只考虑灯的成本和消耗电费,你认为该商家应选择哪种型号的节能灯,请说明理由.
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【题目】2018年的政府工作报告强调,要树立绿水青山就是金山银山理念,以前所未有的决心和力度加强生态环境保护.某地科技园积极检查督导园区内企业的环保落实情况,并计划采取激励措施引导企业主动落实环保措施,下图给出的是甲、乙两企业2012年至2017年在环保方面投入金额(单位:万元)的柱状图.
(Ⅰ)分别求出甲、乙两企业这六年在环保方面投入金额的平均数;(结果保留整数)
(Ⅱ)园区管委会为尽快落实环保措施,计划对企业进行一定的奖励,提出了如下方案:若企业一年的环保投入金额不超过200万元,则该年不奖励;若企业一年的环保投入金额超过200万元,不超过300万元,则该年奖励20万元;若企业一年的环保投入金额超过300万元,则该年奖励50万元.
(ⅰ)分别求出甲、乙两企业这六年获得的奖励之和;
(ⅱ)现从甲企业这六年中任取两年对其环保情况作进一步调查,求这两年获得的奖励之和不低于70万元的概率.
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