Question

已知圆C₁：x²+y²-4x+2y=0与圆C₂：x²+y²-2y-4=0．
（1）求证两圆相交；
（2）求两圆公共弦所在直线的方程；
（3）求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）将圆的方程化为标准方程，求出圆心距及半径，即可得两圆相交；
（2）对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程；
（3）先求两圆的交点，进而可求圆的圆心与半径，从而可求圆的方程．

解答：（1）证明：圆C₁：x²+y²-4x+2y=0与圆C₂：x²+y²-2y-4=0化为标准方程分别为圆C₁：（x-2）²+（y+1）²=5与圆C₂：x²+（y-1）²=5
∴C₁（2，-1）与圆C₂（0，1），半径都为

5

∴圆心距为0＜

(2-0)2+(-1-1)2

=2

2

＜2

5

∴两圆相交；
（2）解：将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即
（x²+y²-4x+2y）-（x²+y²-2y-4）=0
即x-y-1=0
（3）解：由（2）得y=x-1代入圆C₁：x²+y²-4x+2y=0，化简可得2x²-4x-1=0
∴x=

2± 6

2

当x=

2+ 6

2

时，y=

6

2

；当x=

2- 6

2

时，y=-

6

2

设所求圆的圆心坐标为（a，b），则

(a- 2+ 6 2 )2+(b- 6 2 )2=(a- 2- 6 2 )2+(b+ 6 2 )2 2a+4b=1

∴

a= 3 2 b=- 1 2

∴r2=(

3

2

-

2+ 6

2

)2+(-

1

2

-

6

2

)2=

7

2

∴过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程为(x-

3

2

)2+(y+

1

2

)2=

7

2

点评：本题重点考查两圆的位置关系，考查两圆的公共弦，考查圆的方程，解题的关键是确定圆的圆心与半径，综合性强．