【题目】如图,已知多面体的底面是边长为的菱形, , ,且.
(1)证明:平面平面;
(2)若,求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析: (1)连接BD,交AC于点O,设PC中点为F,由已知结合三角形中位线定理可得四边形OFED为平行四边形,则OD∥EF,即BD∥EF.再由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥BD.又ABCD是菱形,得BD⊥AC.由线面垂直的判定可得BD⊥平面PAC.则EF⊥平面PAC.进一步得到平面PAC⊥平面PCE.
(2)由∠ABC=60°,可得△ABC是等边三角形,得AC=2.再由PA⊥平面ABCD,得PA⊥AC.求出三角形PAC的面积证得EF是三棱锥E﹣PAC的高,利用P﹣ACE的体积等于E﹣PAC的体积求解.
解析:
(1)证明:连接,交于点,设中点为,
连接 , .
因为, 分别为, 的中点,
所以,且,
因为,且,
所以,且
所以四边形为平行四边形,所以,即.
因为平面, 平面,所以.
因为是菱形,所以.
因为,所以平面
因为,所以 平面
因为平面,所以平面平面
(2)因为,所以△是等边三角形,所以.
又因为平面, 平面, .
因为面,所以是三棱锥的高,,
平面,
所以点到平面的距离
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【题目】以下对各事件发生的概率判断正确的是( )
A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是
B.从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务,则选中一男一女同学的概率为
C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是
D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是
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【题目】下列结论:
①若,则“”成立的一个充分不必要条件是“,且”;
②存在,使得;
③若函数的导函数是奇函数,则实数;
④平面上的动点到定点的距离比到轴的距离大1的点的轨迹方程为.
其中正确结论的序号为_________.(填写所有正确的结论序号)
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【题目】下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费y(万元)的几组对照数据:
x(年) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y(万元) | 1 | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)若知道y对x呈线性相关关系,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(2)已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元,试根据(1)求出的线性回归方程,预测该型号设备技术改造后,使用10年的维修费用能否比技术改造前降低?参考公式:,.
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【题目】某中学高二年级组织外出参加学业水平考试,出行方式为:乘坐学校定制公交或自行打车前往,大数据分析显示,当的学生选择自行打车,自行打车的平均时间为 (单位:分钟) ,而乘坐定制公交的平均时间不受影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:
(1)当在什么范围内时,乘坐定制公交的平均时间少于自行打车的平均时间?
(2)求该校学生参加考试平均时间的表达式:讨论的单调性,并说明其实际意义.
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【题目】某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100),[100,110),…,[140,150]后得到如下部分频率分布直方图,观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求分数在[120,130)内的频率;
(2)若在同一组数据中,将该组区间的中点值(如:组区间[100,110)的中点值为=105)作为这组数据的平均分,据此,估计本次考试的平均分;
(3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至多有1人在分数段[120,130)内的概率.
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【题目】某玩具所需成本费用为P元,且P=1 000+5x+x2,而每套售出的价格为Q元,其中Q(x)=a+ (a,b∈R),
(1)问:玩具厂生产多少套时,使得每套所需成本费用最少?
(2)若生产出的玩具能全部售出,且当产量为150套时利润最大,此时每套价格为30元,求a,b的值.(利润=销售收入-成本).
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