Question

【题目】已知f（x）= ．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）证明f（x）是定义域内的增函数；
（3）解不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：（x）是奇函数，理由如下：

∵f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=﹣ =﹣f（x），

∴f（x）是奇函数

（2）证明： f（x）= =1﹣

设x1＜x2，则

f（x1）﹣f（x2）=1﹣ ﹣﹣（1﹣ ）=

∵y=10x为增函数，

∴当x1＜x2时， ＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在定义域上为增函数．

（3）解：不等式可化为f（1﹣m）＞﹣f（1﹣m2）

由（1）知f（x）是奇函数，

∴f（1﹣m）＞f（m2﹣1）

由（2）知f（x）在定义域上为增函数，

∴1﹣m＞m2﹣1

解得﹣2＜m＜1）

【解析】（1）利用函数的奇偶性的定义判断证明f（﹣x）=﹣ =﹣f（x），即可判定函数的奇偶性；（2）利用函数单调性的定义，设x1＜x2 ， 利用作差法证明f（x1）＜f（x2），即可得出函数的单调性；（3）根据函数的单调性与奇偶性，化抽象函数为具体函数，即可解不等式．
【考点精析】解答此题的关键在于理解奇偶性与单调性的综合的相关知识，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．