Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为﹣ ，求斜率k的值；
②若点M（﹣ ，0），求证： 为定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因为 满足a2=b2+c2， ，

根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ，可得 ．

从而可解得 ，

所以椭圆方程为

（2）

解：①将y=k（x+1）代入 中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0

△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，

因为AB中点的横坐标为 ，所以 ，解得

②证明：由①知 ，

所以

= =

= = =

【解析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积及椭圆几何量之间的关系，建立等式，即可求得椭圆的标准方程；（2）①直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为 ，即可求斜率k的值；②利用韦达定理，及向量的数量积公式，计算即可证得结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．