分析:本题有两种解答思路:
解法一:(1)根据两个不共线的向量
,
的夹角
θ=,及
||=3,
||=2,结合
=
-
,我们代入直接求出
•;(2)由点M在直线OB上,我们设
=λ,结合
|+|2=2+2•+2,分类讨论λ>0(即
与同向)、λ<0(即
与反向)即可求出对应λ的值.
解法二:以O为坐标原点,OB方向为X轴正方向,建立平面直角坐标系,构造出各个点及各个向量的坐标,利用坐标法进行解答.
解答:解法一:(1)
•=
•(-)=-2+•=
-||2+||||cosθ=-9+3×2×=-6(6分)
(2)设
=λ,
则显然λ≠0
|+|2=2+2•+2①当λ>0时
|+|2=||2+2||•||cosθ+||2=9+12cosθ•λ+4λ
2(*)(8分)
要使得(*)有最小值,
其对称轴
λ=-cosθ>0,
即cosθ<0
故
|+|2min==,
解得
cosθ=-(10分)
又0°≤θ≤180°
∴θ=150°(12分)
②当λ<0时
|+|2=||2-2||•||cosθ+||2=9+12cosθ•λ+4λ
2(#)
要使得(#)有最小值,
其对称轴
λ=-cosθ<0,
即cosθ>0
故
|+|2min==,
解得
cosθ=又0°≤θ≤180°
∴θ=30°(15分)
综上所述,θ=30°或150°(16分)
法二:以O为坐标原点,OB方向为X轴正方向,建立平面直角坐标系,
则A(3cosθ,3sinθ),B(2,0)
(1)当
θ=时,
=(,),=(,-)(3分)
∴
•=-=-6(6分)
(2)设
=(2λ,0),
则
+=(3cosθ+2λ,3sinθ)(8分)
|+|2=(3cosθ+2λ)2+9sin2θ=4λ2+12cosθ•λ+9(10分)
当
λ=-cosθ时,
|+|2min==解得
cosθ=±(14分)
又0°≤θ≤180°
∴θ=30°或150°(16分)
点评:本题考查的知识点是平面向量的数量积运算,向量的模及二次函数的最值问题,在处理与向量模有关的问题时,如果能使用坐标法,我们可根据
=(x,y),则
||=来处理,若没有坐标,则一般要使用平方法处理.