Question

给定正数p，q，a，b，c，其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx²-2ax+c=0（　　）

A．无实根

B．有两个相等实根

C．有两个同号相异实根

D．有两个异号实根

Answer 1

分析：先由p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，确定a、b、c与p、q的关系，再判断一元二次方程bx²-2ax+c=0判别式△=4a²-4bc的符号，决定根的情况即可得答案．

解答：解：∵p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列
∴a²=pq，b+c=p+q．解得b=

2p+q

3

，c=

p+2q

3

；
∴△=（-2a）²-4bc=4a²-4bc=4pq-

4

9

（2p+q）（p+2q）
=-

8

9

p2-

8

9

q2+

16

9

pq=-

8

9

(p2-2pq+q2)=-

8

9

（p-q）²
又∵p≠q，∴-

2

9

（p-q）²＜0，即△＜0，原方程无实根．
故选A．

点评：本题考查了等比数列、等差数列的定义和性质，重点考查了一元二次方程根的存在性判断，解题时要有一定的代数变形能力，属中档题．