Question

12．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3t+2}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l和曲线C的位置关系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三种方程的转化方法，将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）圆心C到直线l的距离$d=\frac{{|{3-8}|}}{{\sqrt{16+9}}}=1=r$，即可判断直线l和曲线C的位置关系．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为：ρ²=2ρsinθ，
又$\left\{\begin{array}{l}ρsinθ=y\\{ρ^2}={x^2}+{y^2}\end{array}\right.$，∴曲线C的直角坐标方程为：x²-y²-2y=0，
将直线l的参数方程化为直角坐标方程得：4x+3y-8=0；
（Ⅱ）曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0，1），半径r=1，
则圆心C到直线l的距离$d=\frac{{|{3-8}|}}{{\sqrt{16+9}}}=1=r$，∴直线l与圆C相切．

点评 本题考查三种方程的转化，考查直线与圆位置关系的判断，属于中档题．