精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设f(x)=ex-a(x+1).
(1)若a>0,f(x)≥0对一切x∈R恒成立,求a的最大值;
(2)设是曲线y=g(x)上任意两点,若对任意的a≤-1,直线AB的斜率恒大于常数m,求m的取值范围;
(3)是否存在正整数a.使得对一切正整数n都成立?若存在,求a的最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】分析:(1)由f(x)=ex-a(x+1),知f′(x)=ex-a,故f(x)min=f(lna)=a-a(lna+1)=-alna,再由f(x)≥0对一切x∈R恒成立,能amax
(2)由f(x)=ex-a(x+1),知g(x)=f(x)+=.由a≤-1,直线AB的斜率恒大于常数m,知g′(x)=ex--a≥2-a=-a+2=m,(a≤-1),由此能求出实数m的取值范围.
(3)设t(x)=ex-x-1,则t′(x)=ex-1,从而得到ex≥x+1,取,用累加法得到.由此能够推导出存在正整数a=2.使得1n+3n+…+(2n-1)n•(an)n
解答:解:(1)∵f(x)=ex-a(x+1),
∴f′(x)=ex-a,
∵a>0,f′(x)=ex-a=0的解为x=lna.
∴f(x)min=f(lna)=a-a(lna+1)=-alna,
∵f(x)≥0对一切x∈R恒成立,
∴-alna≥0,
∴alna≤0,
∴amax=1.
(2)∵f(x)=ex-a(x+1),
∴g(x)=f(x)+=
∵a≤-1,直线AB的斜率恒大于常数m,
∴g′(x)=ex--a≥2-a=-a+2=m,(a≤-1),
解得m≤3,
∴实数m的取值范围是(-∞,3].
(3)设t(x)=ex-x-1,
则t′(x)=ex-1,令t′(x)=0得:x=0.
在x<0时t′(x)<0,f(x)递减;在x>0时t′(x)>0,f(x)递增.
∴t(x)最小值为f(0)=0,故ex≥x+1,


累加得
∴1n+3n+…+(2n-1)n•(2n)n
故存在正整数a=2.使得1n+3n+…+(2n-1)n•(an)n
点评:本题考查满足条件的实数的最大值的求法,考查满足条件地实数的取值范围的求法,探索满足条件的实数的最小值.综合性强,难度大.解题时要认真审题,合理地运算导数性质进行等价转化.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设f(x)=ex-a(x+1).
(1)若a>0,f(x)≥0对一切x∈R恒成立,求a的最大值;
(2)设g(x)=f(x)+
a
ex
,A(x1y1),B(x2y2)(x1x2)
是曲线y=g(x)上任意两点,若对任意的a≤-1,直线AB的斜率恒大于常数m,求m的取值范围;
(3)是否存在正整数a.使得1n+3n+…+(2n-1)n
e
e-1
(an)n
对一切正整数n都成立?若存在,求a的最小值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设f(x)=ex-a(x+1).
(1)若a>0,f(x)≥0对一切x∈R恒成立,求a的最大值.
(2)设g(x)=f(x)+
a
ex
,且A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是曲线y=g(x)上任意两点,若对任意的a≤-1,直线AB的斜率恒大于常数m,求m的取值范围;
(3)求证:1n+3n+…+(2n-1)n
e
e-1
•(2n)n

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2013年江苏省南通市高考学科基地数学模拟试卷(十)(解析版) 题型:解答题

设f(x)=ex-a(x+1).
(1)若a>0,f(x)≥0对一切x∈R恒成立,求a的最大值;
(2)设是曲线y=g(x)上任意两点,若对任意的a≤-1,直线AB的斜率恒大于常数m,求m的取值范围;
(3)是否存在正整数a.使得对一切正整数n都成立?若存在,求a的最小值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2013年江苏省高考数学模拟试卷(十)(解析版) 题型:解答题

设f(x)=ex-a(x+1).
(1)若a>0,f(x)≥0对一切x∈R恒成立,求a的最大值;
(2)设是曲线y=g(x)上任意两点,若对任意的a≤-1,直线AB的斜率恒大于常数m,求m的取值范围;
(3)是否存在正整数a.使得对一切正整数n都成立?若存在,求a的最小值;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案