Question

3．已知{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列，其前n项的和为A_n；{b_n}是首项为1，公比为q（|q|＜1）的等比数列，其前n项的和为B_n．设S_n=B₁+B₂+…+B_n．若$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{{A}_{n}}{n}$-S_n）=1，求d和q．

Answer 1

分析 运用等差数列和等比数列的求和公式求得A_n，B_n，运用数列的求和方法：分组求和可得S_n，再由数列的极限：$\underset{lim}{n→∞}$qⁿ=0，即可得到d，q的方程，解方程可得所求．

解答 解：由题意可得前n项的和为A_n=n+$\frac{1}{2}$n（n-1）d，
B_n=$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$，S_n=B₁+B₂+…+B_n=（$\frac{1}{1-q}$-$\frac{q}{1-q}$）+（$\frac{1}{1-q}$-$\frac{{q}^{2}}{1-q}$）+…+（$\frac{1}{1-q}$-$\frac{{q}^{n}}{1-q}$）
=$\frac{n}{1-q}$-（$\frac{q}{1-q}$+$\frac{{q}^{2}}{1-q}$+…+$\frac{{q}^{n}}{1-q}$）=$\frac{n}{1-q}$-$\frac{1}{1-q}$•$\frac{q（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
若$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{{A}_{n}}{n}$-S_n）=1，即有$\underset{lim}{n→∞}$[1+$\frac{1}{2}$（n-1）d-$\frac{n}{1-q}$+$\frac{1}{1-q}$•$\frac{q（1-{q}^{n}）}{1-q}$]=1，
由$\underset{lim}{n→∞}$qⁿ=0，可得1-$\frac{1}{2}$d+$\frac{q}{（1-q）^{2}}$=1，且$\frac{1}{2}$d-$\frac{1}{1-q}$=0，
解方程可得d=4，q=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的极限的求法，运用$\underset{lim}{n→∞}$qⁿ=0，同时考查等差数列和等比数列的求和公式的运用，以及数列的求和方法：分组求和，属于中档题．