Question

已知函数f（x）=lnx-

a

x

．
（1）当a＞0时，判断f（x）在定义域内的单调性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为

3

2

，求实数a的值；
（3）试求实数a的取值范围，使得在区间（1，+∞）上，函数y=x²的图象恒在函数f（x）的图象的上方．

Answer 1

分析：（1）求出导数f′（x），易判断导数符号，从而可判断单调性；
（2）令f′（x）=0，得x=-a，按照-a≤1，-a≥e，1＜-a＜e三种情况进行讨论，利用单调性可求得函数的最小值，令其为

3

2

可求得a；
（3）x²＞lnx-

a

x

在（1，+∞）上恒成立，即a＞xlnx-x³在（，+∞）上恒成立，等价于a＞（xlnx-x³）_max，令g（x）=xlnx-x³（x＞1），利用导数可求得g（x）的最大值；

解答：解：（1）f′（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

（x＞0），
当a＞0时，f（x）＞0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）由f′（x）=0，得x=-a，
①当a≥-1时，f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，f（x）在[1，e]上为增函数，
f（x）_min=f（1）=-a=

3

2

，解得a=-

3

2

（舍）；
②当a≤-e时，f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，f（x）在[1，e]上为减函数，
则f（x）_min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

，得a=-

e

2

（舍），
③当-e＜a＜-1时，由f（x）=0，得x₀=-a，
当1＜x＜x₀时，f′（x）＜0，f（x）在[1，x₀]上为减函数，
当x₀＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在[x₀，e]上为增函数；
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1+

3

2

，得a=-

e

，
综上，a=-

e

；
（3）由题意得x²＞lnx-

a

x

在（1，+∞）上恒成立，即a＞xlnx-x³在（，+∞）上恒成立，
设g（x）=xlnx-x³（x＞1），则g′（x）=lnx-3x²+1，
令h（x）=lnx-x³+1，则h′（x）=

1

x

-6x，
当x＞1时，h′（x）＜0恒成立，
∴h（x）=g′（x）=lnx-3x²+1在（1，+∞）上为减函数，
则g′（x）＜g′（1）=-2＜0，
所以，g（x）在在（1，+∞）上为减函数，
∴g（x）＜g（1）=-1，
故a≥-1．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题往往转化为函数的最值解决．