Question

14．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、P分别是BC、A₁D₁的中点．M、N分别是AE、CD₁的中点，AD=AA₁=$\frac{1}{2}$AB=2．
（1）求证：MN∥平面ADD₁A₁；
（2）求直线MN与平面PAE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{D{D_1}}$的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ADD₁A₁的一个法向量，证明$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow m=（{-\frac{3}{4}}）×0+0×1+\frac{1}{2}×0=0$，故$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow m$，即可证明MN∥平面ADD₁A₁；
（2）求出平面PAE的一个法向量，即可求直线MN与平面PAE所成角的正弦值．

解答 （1）证明：以D为原点，$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{D{D_1}}$的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则故A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1）．
因为E、P分别是BC、A₁D₁的中点，所以$E（{\frac{1}{2}，2，0}），P（{\frac{1}{2}，0，1}）$．
因为M、N分别是AE、CD₁的中点，所以$M（{\frac{3}{4}，1，0}），N（{0，1，\frac{1}{2}}）$．
$\overrightarrow{MN}=（{-\frac{3}{4}，0，\frac{1}{2}}）$．
因为y轴⊥平面ADD₁A₁，所以$\overrightarrow m=（{0，1，0}）$是平面ADD₁A₁的一个法向量．
由于$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow m=（{-\frac{3}{4}}）×0+0×1+\frac{1}{2}×0=0$，故$\overrightarrow{MN}⊥\overrightarrow m$．
又MN?平面ADD₁A₁，故MN∥平面ADD₁A₁．
（2）解：$\overrightarrow{AE}=（{-\frac{1}{2}，2，0}），\overrightarrow{AP}=（{-\frac{1}{2}，0，1}）$．
设平面PAE的一个法向量为$\overrightarrow u=（{x，y，z}）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow u•\overrightarrow{AE}=-\frac{1}{2}x+2y=0\\ \overrightarrow u•\overrightarrow{AP}=-\frac{1}{2}x+z=0\end{array}\right.$，即x=4y=2z．
取y=1，得$\overrightarrow u=（{4，1，2}）$．
设直线MN与平面PAE所成的角为θ，则$sinθ=|{cos＜\overrightarrow{MN}，\overrightarrow u＞}|=\frac{{|{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow u}|}}{{|{\overrightarrow{MN}}|•|{\overrightarrow u}|}}=\frac{2}{{\sqrt{21}×\frac{{\sqrt{13}}}{4}}}=\frac{{8\sqrt{273}}}{273}$
因此直线MN与平面PAE所成角的正弦值为$\frac{{8\sqrt{273}}}{273}$．

点评 本题考查线面平行，考查线面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．