Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+

1

2

c=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）运用正弦定理和两角和的正弦公式化简整理，即可得到∠A；
（Ⅱ）运用正弦定理，可得l=a+b+c=2+

4 3

3

（sinB+sinC），再由C=

2π

3

-B，运用两角差的正弦公式，化简计算结合正弦函数的图象和性质，即可得到范围．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理可得，sinAcosC+

1

2

sinC=sinB，
则sinAcosC+

1

2

sinC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
由于sinC≠0，则cosA=

1

2

，
由0＜A＜π，可得A=

π

3

；
（Ⅱ）由正弦定理，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2

sin π 3

=

4 3

3

．
则b=

4 3

3

sinB，c=

4 3

3

sinC，
l=a+b+c=2+

4 3

3

（sinB+sinC）=2+

4 3

3

（sinB+sin（

2π

3

-B））
=2+

4 3

3

（

3

2

cosB+

3

2

sinB）=2+4（

1

2

cosB+

3

2

sinB）=2+4sin（B+

π

6

），
由于0＜B＜

2π

3

，则

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，

1

2

＜sin（B+

π

6

）≤1，
则有4＜l≤6．
即为△ABC的周长l的取值范围是（4，6]．

点评：本题考查正弦定理的运用，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．