Question

已知抛物线的顶点在原点，焦点为圆的圆心．
（1）求此抛物线方程；
（2）如图，是否存在过圆心的直线与抛物线、圆顺次交于且使得，成等差数列，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）；  　　（2）和．

（1）圆的方程为，圆心坐标为，故所求抛物线的方程为．
　　（2）由已知，．
若存在．则由圆心的坐标知，
①若垂直于轴，设的方程为，代入，得．
，不存在这样的直线方程．
②若不垂直于轴，设的方程为，记，，
由得，
，抛物线的准线方程为．
由抛物线定义，得．
．，．
当时，经检验方程“”的．存在这样的直线，其方程为：．
即和．