Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），a₁=1，a₄=8，（q≠0，q≠±1，b≠0），现把数列{a_n}的各项排成如图所示的三角形形状．记A（m，n）为第m行从左起第n个数．有下列命题：
①{a_n}为等比数列且其公比q=±2；
②当n=2m（m＞3，m、n∈N^*）时，A（m，n）不存在；
③；
④当m＞3时，A（m+1，m+1）=4^m•A（m，m）．
其中你认为正确的所有命题的序号是________．

Answer 1

②③④
分析：①n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（bq-b）q^n-1，故可得数列{a_n}是等比数列，由a₁=1，a₄=8，可得公比q=2，；
②第m行共有2m-1个数，而n=2m（m＞3，m、n∈N^*）；
③由图形可知，奇数行，按下标顺序从小到大排列，偶数行，按下标顺序从大到消排列，且第6行的第一个数为a₃₆，第11行的第一个数为a₁₀₁；
④由图形可知，A（m+1，m+1）与A（m，m）相差2m项，利用等比数列的通项公式可得结论．
解答：①n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（bq-b）q^n-1，∴=q，∴数列{a_n}是等比数列，∵a₁=1，a₄=8，∴公比q=2，故①不正确；
②∵第m行共有2m-1个数，∴n=2m（m＞3，m、n∈N^*）时，A（m，n）不存在，故②正确；
③由图形可知，奇数行，按下标顺序从小到大排列，偶数行，按下标顺序从大到消排列，且第6行的第一个数为a₃₆，第11行的第一个数为a₁₀₁，故，即③正确；
④由图形可知，A（m+1，m+1）与A（m，m）相差2m项，利用等比数列的通项公式可得A（m+1，m+1）=4^m•A（m，m），故④正确．
故答案为：②③④
点评：本题主要考查学生对数列的观察能力，应用能力，及等比数列的通项，属中档题型．