Question

7．若直线y=x+k与曲线x=$\sqrt{1-{y}^{2}}$恰有一个公共点，则k的取值范围是（　　）

• A． k=-$\sqrt{2}$或-1＜k≤1
• B． k≥$\sqrt{2}$或k≤-$\sqrt{2}$
• C． -$\sqrt{2}$＜k＜$\sqrt{2}$
• D． k=±$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 曲线x=$\sqrt{1-{y}^{2}}$表示一个半圆（单位圆位于x轴及x轴右侧的部分）．当直线y=x+k经过点A、B时，分别求得k的值，再求出当直线y=x+k和半圆相切时k的值，数形结合求得k的范围．

解答 解：曲线x=$\sqrt{1-{y}^{2}}$，即x²+y²=1 （x≥0），表示一个半圆（单位圆位于x轴及x轴右侧的部分）．
如图，A（0，1）、B（1，0）、C（0，-1），
当直线y=x+k经过点A时，1=0+k，求得 k=1；
当直线y=x+k经过点B、点C时，0=1+k，求得 k=-1；
当直线y=x+k和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，
可得1=$\frac{|0-0+k|}{\sqrt{2}}$，求得k=-$\sqrt{2}$，或k=$\sqrt{2}$（舍去），
故要求的实数k的范围为k=-$\sqrt{2}$或-1＜k≤1
故选：A．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．