Question

8．设f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，证明f（x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，+∞）上单调递减．

Answer 1

分析 可根据单调性的定义证明：设任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，提取公因式，便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$，从而可分别判断出x₁，x₂∈（0，1]和x₁，x₂∈[1，+∞）上的f（x₁）和f（x₂）的大小关系，从而便判断并证明出f（x）的单调性．

解答 证明：设x₁＞x₂＞0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}-\frac{2{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（{{x}_{1}}^{2}+1）（{{x}_{2}}^{2}+1）}$；
∵x₁＞x₂＞0；
∴x₁-x₂＞0；
∴若0＜x₂＜x₁≤1，则x₁x₂＜1，∴1-x₁x₂＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，1]上单调递增；
若x₁＞x₂≥1，则x₁x₂＞1，∴1-x₁x₂＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[1，+∞）上单调递减．

点评 考查单调性的定义，以及根据单调性的定义证明一个函数的单调性的方法和过程，作差之后一般要提取公因式x₁-x₂，以及不等式的性质的运用．