Question

20．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（a-2）x+1，x＜1}\\{{{（\frac{1}{2}）}^x}-1，x≥1}\end{array}}\right.$是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2）
• B． $（-∞，\frac{1}{2}]$
• C． $[\frac{1}{2}，2）$
• D． （0，2）

Answer 1

分析 由题意利用函数的单调性的性质，可得$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{\frac{1}{2}-1≤a-2+1}\end{array}\right.$，由此求得a的范围．

解答 解：函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（a-2）x+1，x＜1}\\{{{（\frac{1}{2}）}^x}-1，x≥1}\end{array}}\right.$是R上的单调递减函数，∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{\frac{1}{2}-1≤a-2+1}\end{array}\right.$，
求得$\frac{1}{2}$≤a＜2，则实数a的范围是[$\frac{1}{2}$，2），
故选：C．

点评 本题主要函数的单调性的性质，属于基础题．