Question

20．设双曲线Γ：x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的左右两个焦点分别为F₁，F₂，A为双曲线Γ的左顶点，直线l过右焦点F₂且与双曲线Γ交于M，N两点，若AM，AN的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=-$\frac{1}{2}$，则直线l的方程为y=-8（x-3）．．

Answer 1

分析 设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理及k₁+k₂=2，求直线l的斜率，即可求出直线l的方程．

解答 解：设直线方程为l：y=k（x-3），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
联立方程组得（8-8k²）x²+6k²x-9k²-8=0
∴x₁+x₂=-$\frac{6{k}^{2}}{8-8{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-9{k}^{2}-8}{8-8{k}^{2}}$
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{1}+1}$=$\frac{2k（{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{2}-{x}_{1}-3）}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}{+x}_{2}+1}$=-$\frac{1}{2}$，
代入解得k=-8，
∴直线l的方程是y=-8（x-3）．
故答案为y=-8（x-3）．

点评 本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．