Question

已知函数y=f（x）的定义域为（-1，1），并且对一切x，y∈（-1，1）恒有f（x）+f（y）=f（x+y）；且当x＞0时，f（x）＜0；
（1）判断该函数的奇偶性；
（2）判断并证明该函数的单调性；
（3）若f（1-m）+f（1-m²）＞0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，得f（0）=0，再令y=-x，即可判断该函数的奇偶性；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜1，作差f（x₂）-f（x₁）后判断符号即可判断该函数的单调性；
（3）利用（2）中该函数的单调性与（1）中的奇偶性，可脱掉f（1-m）+f（1-m²）＞0，中的“f”，得到关于m的不等式组，解之即可．

解答：解：（1）令x=y=0，得f（0）=0；
再令y=-x，
则f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），又y=f（x）的定义域为（-1，1），
∴函数y=f（x）为奇函数；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜1，
则x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＜0；
∴f（x₂-x₁）＜0
又y=f（x）为奇函数，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴函数在（-1，1）上单调递减；
（3）依题意，f（1-m）+f（1-m²）＞0?f（1-m）＞f（m²-1），
∵函数在（-1，1）上单调递减；
∴

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，解得1＜m＜

2

．
∴实数m的取值范围是（1，

2

）．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数奇偶性与单调性的应用，考查解不等式组的能力，属于中档题．