Question

根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图（1）中的一条折线表示，销售量Q与时间t的关系用图（2）中的线段表示（t∈N^*）

（1）分别写出图（1）表示的价格与时间的函数关系式P=f（t），图（2）表示的销售量与时间的函数关系式Q=g（t）．
（2）求这种商品的销售额S（销售额=销售量×价格）的最大值及此时的时间．

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接通过图（1）表示的价格与时间的函数关系式P=f（t），图（2）表示的销售量与时间的函数关系式Q=g（t）．注明函数的定义域．
（2）利用函数的解析式，通过平方，分别求出函数的最值，取得最值的时间．

解答： （本小题满分8分）
解：（I）f(t)=

t 2 +11，t∈[1，20)，t∈N* -t+41，t∈[20，40]，t∈N*

…（2分）
g(t)=-

t

3

+

43

3

，t∈[1，40]，t∈N*…（3分）
（II）当1≤t＜20时，S=(

t

2

+11)(-

t

3

+

43

3

)=-

1

6

(t-

21

2

)2+

4225

24

．
∵t∈N^*，∴t=10或11时，S的最大值为176    …（5分）
当20≤t＜40时，S=(-t+41)(-

t

3

+

43

3

)=

1

3

(t-42)2-

1

3

为减函数．
∴t=20时，S的最大值为161，…（7分）
∴t=10或11时，S的最大值为176． …（8分）

点评：本题考查函数的实际应用，二次函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．