Question

求函数f（x）=sinx+cosx+1，x∈（0，2π）的单调区间及极值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用辅助角公式将函数进行化简，即可求出函数的单调求解以及函数的极值．

解答： 解：f（x）=sinx+cosx+1=1+

2

sin（x+

π

4

），
由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈Z，
当k=0时，0＜x≤

π

4

，
当k=1时，

5π

4

≤x＜2π，即函数的递增区间为（0，

π

4

]和[

5π

4

，2π），
2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
即2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

，k∈Z，
当k=0时，

π

4

≤x≤

5π

4

，
即函数的递减区间为[

π

4

，

5π

4

]，
当x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

π

4

，
则当k=0时，x=

π

4

此时函数取得极大值1+

2

，
当x+

π

4

=2kπ-

π

2

，即x=2kπ+

3π

2

，
则当k=0时，x=

3π

2

此时函数取得极小值1-

2

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．