Question

已知双曲线的两个焦点为
的曲线C上．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q （0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可得a²+b²=4，得到a和b的关系，把点（3，）代入双曲线方程，求得a，进而根据a²+b²=4求得b，双曲线方程可得．
（2）可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，根据直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，进而可得k的范围，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），根据韦达定理可求得x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出|EF|和原点O到直线l的距离根据三角形OEF的面积求得k，进而可得直线方程．
解答：解：（Ⅰ）：依题意，由a²+b²=4，得双曲线方程为（0＜a²＜4），
将点（3，）代入上式，得．解得a²=18（舍去）或a²=2，
故所求双曲线方程为．
（Ⅱ）：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得（1-k²）x²-4kx-6=0．
∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴
∴k∈（-）∪（1，）．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则由①式得x₁+x₂=，
于是，|EF|=
=
而原点O到直线l的距离d=，
∴S_△OEF=．
若S_△OEF=，即，解得k=±，
满足②．故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和．
点评：本题主要考查了双曲线的方程和双曲线与直线的关系．考查了学生综合运算能力．