Question

某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q=

3x+1

x+1

(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和（注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”）．
（1）试将年利润W万元表示为年广告费x万元的函数；
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？并求出该最大值．

Answer 1

分析：（1）根据生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，可建立函数关系式；
（2）利用换元法，再借助于基本不等式，即可求得最值．

解答：解：（1）由题意，∵生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和
∴W

=0.5×(3+32Q)-0.5x

=

16(3x+1)

x+1

-0.5x+1.5(x≥0）（3分）
（2）令x+1=t（t≥1），则W=50-(

32

t

+

t

2

)≤50-2

16

=42．-----（2分）
当且仅当t=8，即x=7时取最大值42万元．-----（2分）
答：当广告投入7万元时，企业的最大利润为42万元．-----（1分）

点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，利用利润=收入-成本，得到年利润的表达式是解答本题的关键．