Question

已知函数f（x）=log_a（x-1），g（x）=log_a（3-x），（a＞0且a≠1）
（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的定义域；
（2）解不等式f（x）≥g（x）

Answer 1

分析：（1）函数h（x）=f（x）-g（x）的定义域，须使函数f（x）=log_a（x-1），g（x）=log_a（3-x）的解析式都有意义，结合对数函数的性质，构造不等式组，解得函数的定义域．
（2）分0＜a＜1和a＞1两种情况，结合对数函数的单调性及（I）中函数的定义域将不等式转化为整式不等式并解答，最后综合分类讨论结果，可得答案．

解答：解：（1）要使函数h（x）=f（x）-g（x）的解析式有意义
则

x-1＞0 3-x＞0

解得1＜x＜3
∴函数h（x）=f（x）-g（x）的定义域为（1，3）
（2）当0＜a＜1时，函数y=log_ax为减函数
不等式f（x）≥g（x），即log_a（x-1）≥log_a（3-x），
可化为x-1≤3-x，解得x≤2，
结合（1）中函数定义域可得1＜x≤2
此时不等式的解集为（1，2]
当a＞1时，函数y=log_ax为增函数
不等式f（x）≥g（x），即log_a（x-1）≥log_a（3-x），
可化为x-1≥3-x，解得x≥2，
结合（1）中函数定义域可得2≤x3
此时不等式的解集为[2，3）

点评：本题考查的知识点是函数的定义域及求法，对数函数的单调性，其中熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键．