Question

已知不等式ax²+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）若“ax²+2x+4c＞0”是“x+m＞0”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）依题意得，1、3是方程ax²+x+c=0的两根，且a＜0，----------------------（1分）
所以，

a＜0 1+3=- 1 a 1×3= c a

---------------------------------------------------------（4分）
解得，

a=- 1 4 c=- 3 4

；---------------------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=-

1

4

，c=-

3

4

，所以，ax²+2x+4c＞0即为-

1

4

x²+2x-3＞0，
解得，2＜x＜6，又x+m＞0解得x＞-m，-------------------------------------（8分）
∵“ax²+2x+4c＞0”是“x+m＞0”的充分不必要条件，
∴{x|2＜x＜6}?}x|x＞-m}，-----------------------------------（10分）
∴-m≤2，即m≥-2，
∴m的取值范围是[-2，+∞）．------------------------（12分）