Question

2．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中：
（Ⅰ）求证：AC∥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）求证：平面A₁BC₁⊥平面BB₁D₁D．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明四边形ACC₁A₁为平行四边形，可得AC∥A₁C₁，即可证明AC∥平面A₁BC₁；
（Ⅱ）证明A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，即可证明平面A₁BC₁⊥平面BB₁D₁D．

解答 证明：（Ⅰ）因为AA₁∥CC₁，所以四边形ACC₁A₁为平行四边形，…（2分）
所以AC∥A₁C₁，又A₁C₁?平面A₁BC₁，AC?平面A₁BC₁，AC∥平面A₁BC₁； …（5分）
（Ⅱ）易知A₁C₁⊥B₁D₁，因为BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，所以BB₁⊥A₁C₁，…（7分）
因为BB₁∩B₁D₁=B₁，所以A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，
因为A₁C₁?平面A₁BC₁，所以平面A₁BC₁⊥平面BB₁D₁D．…（10分）

点评 本题考查线面平行的判定、考查线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．