Question

（16分）已知A（-1，2）为抛物线C：y=2x²上的点，直线l₁过点A且与抛物线C相切，直线l₂:x=a(a＜-1)交抛物线C 于点B，交直线l₁于点D.
（1）求直线l₁的方程；
（2）求△ABD的面积S₁；
（3）求由抛物线C及直线l₁和直线l₂所围成的图形面积S₂.

Answer 1

（1）4x+y+2=0（2）-(a+1)³（3）-a³-2a²-2a-

（1）由条件知点A（-1，2）为直线l₁与抛物线C的切点，∵y′=4x,∴直线l₁的斜率k=-4,

∴直线l₁的方程为y-2=-4(x+1),即4x+y+2=0.
(2)点A的坐标为（-1，2），
由条件可得点B的坐标为（a，2a²），
点D的坐标为（a，-4a-2），
∴△ABD的面积S₁为
S₁=×|2a²-(-4a-2)|×|-1-a|
=|(a+1)³|=-(a+1)³.
(3)直线l₁的方程可化为y=-4x-2,
S₂=［2x²-(-4x-2)］dx=(2x²+4x+2)dx
=[2(x³+x²+x)]| =--2(a³+a²+a)
=-a³-2a²-2a-.