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已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R.
(1)求证:若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);
(2)判断(1)中命题的逆命题是否正确,并证明你的结论.
(1)见解析
(2)逆命题是真命题,见解析
解:(1)由a+b≥0,得a≥-b.
由函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,得f(a)≥f(-b),同理,f(b)≥f(-a),
所以f(a)+f(b)≥f(-b)+f(-a),即f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
(2)对于(1)中命题的逆命题是:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0,此逆命题为真命题.
现用反证法证明如下:
假设a+b≥0不成立,则a+b<0,a<-b,b<-a,
根据f(x)的单调性,得f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),
这与已知f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)相矛盾,故a+b<0不成立,
即a+b≥0成立,因此(1)中命题的逆命题是真命题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

命题“”的逆否命题是(  )
A.B.若,则
C.若,则D.若,则

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命题“”的否定为       

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

下列四个命题中,真命题的序号有         .(写出所有真命题的序号)
①若,则“”是“”成立的充分不必要条件;
②命题“使得”的否定是“均有”;
③命题“若,则”的否命题是“若,则”;
④函数在区间上有且仅有一个零点.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知命题p:函数f(x)=x2+ax-2在[-1,1]内有且仅有一个零点.命题q:x2+3(a+1)x+2≤0在区间[]内恒成立.若命题“p且q”是假命题,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

下列结论中正确的是(填上所有正确结论得序号)
①对于函数,若,使得,则函数关于直线对称;
②函数有2个零点;
③若关于的不等式的解集为,则
④已知随机变量服从正态分布,则
⑤等比数列的前项和为,已知,则

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

【已知命题p1:存在x0∈R,使得x02+x0+1<0成立;p2:对任意x∈[1,2],x2-1≥0.以下命题:
①(p1)∧(p2);②p1∨(p2);③(p1)∧p2;④p1∧p2.
其中为真命题的是________(填序号).

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

[2014·荷泽模拟]有以下命题:
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②“面积相等的三角形全等”的否命题;
③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;
④“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.
其中真命题为(  )
A.①②B.②③C.④D.①②③

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

下列命题中,真命题是(   )
A.的充分不必要条件
B.“已知,且,则”是真命题
C.命题“”的否定是“
D.“若,则”的否命题为“,则

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