Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．
（1）求f（0）的值；
（2）若0＜φ＜π，求函数f（x）在区间[0，

π

3

]上的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由图可知A=

2

，由

T

4

=

π

4

得，T=π，ω=2，再由2×

7π

12

+φ=2kπ+

3π

2

（k∈Z）可求φ，从而可求f（0）的值；
（2）由（1）知φ=2kπ+

π

3

，k∈Z，0＜φ＜π，可求得φ，利用正弦函数的单调性即可求得函数f（x）在区间[0，

π

3

]上的取值范围．

解答：解：（1）由题图可知：A=

2

，由

T

4

=

7π

12

-

π

3

=

π

4

得，T=π，ω=2，
又2×

7π

12

+φ=2kπ+

3π

2

，
∴φ=2kπ+

π

3

，k∈Z，
∴f（0）=

2

sin（2kπ+

π

3

）=

6

2

．
（2）∵0＜φ＜π，
∴φ=

π

3

，f（x）=

2

sin（2x+

π

3

）．
∵0≤x≤

π

3

，
∴

π

3

≤2x+

π

3

≤π，
∴0≤sin（2x+

π

3

）≤1．
即f（x）的取值范围为[0，

2

]．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．