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    精英家教网已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    左右两焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且在x轴上方，PF2⊥F1F2，OH⊥PF1于H，OH=λOF1，λ∈[
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]    ．
    （1）求椭圆的离心率e的取值范围；
    （2）当e取最大值时，过F1，F2，P的圆Q的截y轴的线段长为6，求圆Q的方程；
    （3）在（2）的条件下，过椭圆右准线L上任一点A引圆Q的两条切线，切点分别为M，N，试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．
    分析：由相似三角形知，
    OH
    PF2
    =
    OF1
    PF1
    ，λ=
    b2
    a
    2a-
    b2
    a
    ，2a2λ-b2λ=b2，2a2λ=b2（1+λ），
    b2
    a2
    =
    2λ
    1+λ
    ．
    （1）由e2=
    c2
    a2
    =1-
    b2
    a2
    =1-
    2λ
    1+λ
    =
    1-λ
    1+λ
    ，知e=
    1-λ
    1+λ
    ，在[
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]    上单调递减．由此能求出椭圆的离心率e的取值范围．
    （2）当e=
    		2
    2
    时，
    c
    a
    =
    		2
    2
    ，所以c=b=
    		2
    2
    a    ，2b2=a2．由PF2⊥F1F2，知PF1是圆的直径，圆心是PF1的中点，由此能求出圆Q的方程．
    （3）椭圆方程是
    x2
    16
    +
    y2
    8
    =1    ，右准线方程为x=4
    		2
    ，由直线AM，AN是圆Q的两条切线，知切点M，N在以AQ为直径的圆上．设A点坐标为(4
    		2
    ，t)    ，由此能够导出直线MN必过定点．
    解答：解：由相似三角形知，
    OH
    PF2
    =
    OF1
    PF1
    ，λ=
    b2
    a
    2a-
    b2
    a
    ，
    ∴2a2λ-b2λ=b2，2a2λ=b2（1+λ），
    b2
    a2
    =
    2λ
    1+λ
    ．
    （1）e2=
    c2
    a2
    =1-
    b2
    a2
    =1-
    2λ
    1+λ
    =
    1-λ
    1+λ
    ，∴e=
    1-λ
    1+λ
    ，在[
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]    上单调递减．
    ∴λ=
    1
    2
    时，e2最小
    1
    3
    ，λ=
    1
    3
    时，e2最大
    1
    2
    ，
    ∴
    1
    3
    ≤e2≤
    1
    2
    ，∴
    		3
    3
    ≤e≤
    		2
    2
    ．
    （2）当e=
    		2
    2
    时，
    c
    a
    =
    		2
    2
    ，∴c=b=
    		2
    2
    a    ，∴2b2=a2．
    ∵PF2⊥F1F2，∴PF1是圆的直径，圆心是PF1的中点，
    ∴在y轴上截得的弦长就是直径，∴PF1=6．
    又PF1=2a-
    b2
    a
    =2a-
    a2
    2a
    =
    3
    2
    a=6    ，∴a=4，c=b=2
    		2
    ．
    ∴PF2=
    b2
    a
    =
    a
    2
    =2    ，圆心Q（0，1），半径为3，x2+（y-1）2=9．
    （3）椭圆方程是
    x2
    16
    +
    y2
    8
    =1    ，右准线方程为x=4
    		2
    ，
    ∵直线AM，AN是圆Q的两条切线，∴切点M，N在以AQ为直径的圆上．设A点坐标为(4
    		2
    ，t)    ，
    ∴该圆方程为x(x-4
    		2
    )+(y-1)(y-t)=0    ．∴直线MN是两圆的公共弦，两圆方程相减得：4
    		2
    x+(t-1)y-8-t=0    ，这就是直线MN的方程．
    该直线化为：(y-1)t+4
    		2
    x-y-8=0    ，
    ∴
    y-1=0
    4
    		2
    x-y-8=0
    ，∴
    x=
    9
    		2
    8
    y=1

    ∴直线MN必过定点(
    9
    		2
    8
    ，1)    ．
    点评：本题考查直线 和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
    1
    2

    （Ⅰ）求椭圆的标准方程，
    （Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
    PF1
    •
    PA
    的取值范围
    （III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
    AH
    2    =
    MH
    •
    HN
    ，求证：直线l恒过定点．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
    （1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
    （2）求k1：k2的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率是
    		3
    2
    ，且经过点M（2，1），直线y=
    1
    2
    x+m(m＜0)    与椭圆相交于A，B两点．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）当m=-1时，求△MAB的面积；
    （3）求△MAB的内心的横坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•威海二模）已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为e=
    		6
    3
    ，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
    2
    		6
    3
    +2    ．
    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
    ND
    •
    MP
    AB
    2
    为定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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