精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知函数y= $数学公式$ （n∈N^，y≠1）的最小值为a_n，最大值为b_n，且c_n=4（a_nb_n- $数学公式$ ）．数列{c_n}的前n项和为S_n．
（1）请用判别式法求a₁和b₁；
（2）求数列{c_n}的通项公式c_n；
（3）若{d_n}为等差数列，且d_n= $数学公式$ （c为非零常数），设f（n）= $数学公式$ （n∈N^），求f（n）的最大值．

解：（1）n=1时，y= $\text{[math]}$ ，则（y-1）x²+x+y-1=0
∵x∈R，y≠1，
∴△=1-4（y-1）（y-1）≥0，即4y²-8y+3≤0
∴ $\text{[math]}$
∴a₁= $\text{[math]}$ ，b₁= $\text{[math]}$ ；
（2）由y= $\text{[math]}$ ，可得（y-1）x²+x+y-n=0
∵x∈R，y≠1，
∴△=1-4（y-1）（y-n）≥0，即4y²-4（1+n）y+4n-1≤0
由题意知：a_n，b_n是方程4y²-4（1+n）y+4n-1=0的两根，
∴a_n•b_n= $\text{[math]}$
∴c_n=4（a_nb_n- $\text{[math]}$ ）=4n-3；
（3）∵c_n=4n-3，∴S_n=2n²-n，∴d_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵{d_n}为等差数列，∴2d₂=d₁+d₃，
∴2c²+c=0，∴c=0（舍去）或c=- $\text{[math]}$ ，∴d_n= $\text{[math]}$ =2n
∴f（n）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
当且仅当n= $\text{[math]}$ ，即n=6时，取等号，∴f（n）的最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先整理出关于y的一元二次方程，再利用判别式，可求求a₁和b₁；
（2）先整理出关于y的一元二次方程，再利用韦达定理便可求出a_nb_n，代入c_n的表达式中即可求出数列{c_n}的通项公式；
（3）由（2）中c_n的通项公式先求出S_n的表达式，然后根据题意求出d_n的通项公式，再根据{d_n}为等差数列的条件便可求出c的值，可得的d_n 的通项公式代入求出f（n）的表达式，根据基本不等式，即可求得结论．
点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

已知函数y=f（x）对任意的实数都有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（Ⅰ）记a_n=f（n）（n∈N*），S_n=

i=1

ai，设bn=

2Sn

+1，且{b_n}为等比数列，求a₁的值．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设c_n=

(n+anbn)2+7-2n

，问：是否存在最大的整数m，使得对于任意n∈N*，均有c_n＞

？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

已知函数y=f（x），x∈N，f（x）∈N，满足：对任意x₁，x₂∈N，x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）
（1）试证明：f（x）为N上的单调增函数；
（2）?n∈N，且f（0）=1，求证：f（n）≥n+1；
（3）对任意m，n∈N，有f（n+f（m））=f（n）+1+m，证明：

i=1

f(3i-1)

＜

．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：

已知函数y=

x2-x+n

x2+1

（n∈N^*，y≠1）的最小值为a_n，最大值为b_n，且c_n=4（a_nb_n-