Question

19．已知a＞0，b＞0，M=$\frac{a}{\sqrt{a}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$，N=$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$，则M，N大小关系为$\left\{\begin{array}{l}{M≥N，当a≥b＞0时}\\{M＜N，当0＜a＜b时}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 平方作差，利用函数的单调性，对a，b大小关系分类讨论即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0，M，N＞0．
∴M²-N²=a+$\frac{{b}^{2}}{a}$+2b-a-b-2$\sqrt{ab}$
=b+$\frac{{b}^{2}}{a}$-2$\sqrt{ab}$
=$\sqrt{b}（\sqrt{b}-\sqrt{a}）$+$\frac{\sqrt{b}（\sqrt{{b}^{3}}-\sqrt{{a}^{3}}）}{a}$，
当b≥a＞0时，由于函数y=$\sqrt{x}$在（0，+∞）上单调递增，∴$\sqrt{b}$$＞\sqrt{a}$，$\sqrt{{b}^{3}}$$＞\sqrt{{a}^{3}}$，∴M²＞N²，∴M＞N．
同理可得：当a＞b＞0时，M＜N．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{M≥N，当a≥b＞0时}\\{M＜N，当0＜a＜b时}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了“平方作差法”、函数的单调性、分类讨论方法、不等式的性质，考查了计算能力，属于中档题．