Question

19．如图，在空间几何体A-BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形，F为AC的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）若AC=4，求证：平面ADE⊥平面BCDE；
（Ⅲ）若AC=4，求几何体C-BDF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取DA的中点G连结FG，GE，推导出四边形BFGE为平行四边形，从而BF∥EG，由此能证明BF∥平面ADE．
（Ⅱ）取DE的中点H，连AH，CH，推导出AH⊥DE，AH⊥HC，从而AH⊥平面BCDE，由此能证明平面ADE⊥BCDE．
（Ⅲ）几何体C-BDF的体积${V_{C-BDF}}={V_{F-BDC}}=\frac{1}{2}{V_{A-BDC}}$，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）取DA的中点G连结FG，GE，
∵F为AC的中点，∴$GF∥\frac{1}{2}DC，\;\;GF=\frac{1}{2}DC$，
又∵DC∥BE，CD=2BE，∴EB∥GF，且EB=GF，
∴四边形BFGE为平行四边形，∴BF∥EG，
∵EG?平面ADE，BF?平面ADE，
∴BF∥平面ADE…（4分）
解：（Ⅱ）取DE的中点H，连AH，CH，
∵△ADE为等边三角形，∴AH⊥DE，且$AH=\sqrt{3}$，
在△DHC中，DH=1，DC=4，HDC=60°，∴$HC=\sqrt{13}$，
∴AC²=AH²+HC²，即AH⊥HC，∵DE∩HC=H，
∴AH⊥平面BCDE，∵AH?平面ADE，
∴平面ADE⊥BCDE…（8分）
（Ⅲ）${V_{A-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•AH$=$\frac{1}{3}×\frac{{4\sqrt{3}}}{2}×\sqrt{3}$=2，
∵F是AC中点，
∴几何体C-BDF的体积${V_{C-BDF}}={V_{F-BDC}}=\frac{1}{2}{V_{A-BDC}}=1$．…（12分）

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．