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8.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a=2acosAcosB-2bsin2A.
(1)求C;
(2)若△ABC的面积为$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$,周长为 15,求c.

分析 (1)a=2acosAcosB-2bsin2A,利用正弦定理,即可求C;
(2)由△ABC的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$得ab=15,由余弦定理得a2+b2+ab=c2,又c=15-(a+b),即可求c.

解答 解:(1)由正弦定理可得
sinA=2sinAcosAcosB-2sinBsin2A…(2分)
=2sinA(cosAcosB-sinBsinA)=2sinAcos(A+B)=-2sinAcosC.
所以cosC=-$\frac{1}{2}$,故C=$\frac{2π}{3}$.…(6分)
(2)由△ABC的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$得ab=15,…(8分)
由余弦定理得a2+b2+ab=c2,又c=15-(a+b),
解得c=7.…(12分)

点评 本题考查正弦、余弦定理的运用,考查三角形面积的计算,属于中档题.

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