Question

【题目】已知是椭圆的左、右焦点，离心率为，是平面内两点，满足，线段的中点在椭圆上，周长为12.

（1）求椭圆的方程；

（2）若与圆相切的直线与椭圆交于，求（其中为坐标原点）的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由已知可得是线段的中点，再由是线段的中点，结合椭圆定义可得周为，再由离心率，求出，即可求出椭圆标准方程.

（2）先考虑直线斜率不存在，求出，直线斜率存在，设直线方程，与单位圆相切求出关系，直线方程与椭圆方程联立，消去，求出横坐标乘积，进而求出纵坐标乘积，结合关系，求出关于目标函数，根据函数的特点，求出其范围.

（1）连接，，，

是线段的中点，是线段的中点，

由椭圆的定义知，，

周长为，

由离心率为知，，解得，，

椭圆的方程为.()

（2）当直线的斜率不存在时，直线，

代入椭圆方程解得，此时，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由直线与圆相切知，，，

将直线方程代入椭圆的方程整理得，

，

设，则，，

，

，

，

，，，

，

综上所述，的取值范围为.