(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
给定椭圆: ,称圆心在坐标原点,半径为的圆是椭圆的“伴随圆”.
(1)若椭圆过点,且焦距为,求“伴随圆”的方程;
(2)如果直线与椭圆的“伴随圆”有且只有一个交点,那么请你画出动点 轨迹的大致图形;
(3)已知椭圆的两个焦点分别是,
椭圆上一动点满足.设点是椭圆的“伴随圆”上的动点,过点作直线使得与椭圆都各只有一个交点,且分别交其“伴随圆”于点.
研究:线段的长度是否为定值,并证明你的结论.
(1)解 由题意得: ,则.......1分
又由焦距为,所以 焦距为..........2分
故所求的“伴随圆”的方程为.................4分
(2)由于椭圆的“伴随圆”与直线有且只有一个交点,
则圆心到直线的距离等于半径,
即 ..............7分
故动点 轨迹方程为
即动点的轨迹是:以原点为圆心半径为3的圆上八分之一弧(除去两端点)如图..10分
(3)由题意得:得,半焦距
则椭圆的方程为 “伴随圆”的方程为
........................11分
文科 因为“伴随圆”的方程为与轴正半轴的交点,设过点,且与椭圆有一个交点的直线为,
则 整理得........14分
所以,解得
所以,的方程为,..........16分
由于,垂直,线段的长度为4...............18分
理科
①当,中有一条无斜率时,不妨设无斜率,
因为与椭圆只有一个交点,则其方程为或,
当方程为时,此时与“伴随圆”交于点,,
此时经过点(或)且与椭圆只有一个公点的直线(或),即为(或)显然直线,垂直;
同理可证方程为时 ,直线,垂直,所以.......13分
②当,都有斜时,设点,其中。设经过点与椭圆为只有一共点的直线为,则消去,
得
即
经过化简得到:
因为,所以有.......16分
设,的斜率分为,因为,与椭圆都有只有一个交点,
所以满足方程
所以,即,垂直.
综合①②知:因为, 经过点,又分别交其“伴随圆”于点,且,垂直,所以线段为“伴随圆” 的直径,所以...18分
科目:高中数学 来源: 题型:
(本题满分18分,其中第1小题5分,第2小题5分,第3小题8分)
在平面直角坐标系中,已知为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为,其中且.设.
(1)若,,,求方程在区间内的解集;
(2)若点是过点且法向量为的直线上的动点.当时,设函数的值域为集合,不等式的解集为集合. 若恒成立,求实数的最大值;
(3)根据本题条件我们可以知道,函数的性质取决于变量、和的值. 当时,试写出一个条件,使得函数满足“图像关于点对称,且在处取得最小值”.(说明:请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次,给予不同的评分.)
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科目:高中数学 来源:上海市普陀区2010届高三第二次模拟考试理科数学试题 题型:解答题
(本题满分18分,其中第1小题5分,第2小题5分,第3小题8分)
在平面直角坐标系中,已知为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为,其中且.设.
(1)若,,,求方程在区间内的解集;
(2)若点是过点且法向量为的直线上的动点.当时,设函数的值域为集合,不等式的解集为集合. 若恒成立,求实数的最大值;
(3)根据本题条件我们可以知道,函数的性质取决于变量、和的值. 当时,试写出一个条件,使得函数满足“图像关于点对称,且在处取得最小值”.(说明:请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次,给予不同的评分.)
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年上海市长宁区高三教学质量测试理科数学 题型:解答题
(本小题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
(文)已知数列中,
(1)求证数列不是等比数列,并求该数列的通项公式;
(2)求数列的前项和;
(3)设数列的前项和为,若对任意恒成立,求的最小值.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年上海市长宁区高三教学质量测试理科数学 题型:解答题
本小题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
设函数是定义域为R的奇函数.
(1)求k值;
(2)(文)当时,试判断函数单调性并求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集;
(理)若f(1)<0,试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围;
(3)若f(1)=,且g(x)=a 2x+a - 2x-2m f(x) 在[1,+∞)上的最小值为-2,求m的值.
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科目:高中数学 来源:上海市普陀区2010届高三第二次模拟考试理科数学试题 题型:解答题
(本题满分18分,其中第1小题5分,第2小题5分,第3小题8分)
在平面直角坐标系中,已知为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为,其中且.设.
(1)若,,,求方程在区间内的解集;
(2)若点是过点且法向量为的直线上的动点.当时,设函数的值域为集合,不等式的解集为集合. 若恒成立,求实数的最大值;
(3)根据本题条件我们可以知道,函数的性质取决于变量、和的值. 当时,试写出一个条件,使得函数满足“图像关于点对称,且在处取得最小值”.(说明:请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次,给予不同的评分.)
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