Question

在数列{a_n}中，已知a1=1，an+1=

an

1+2an

(n∈N+)．
（1）求a₂，a₃，a₄，并由此猜想数列{a_n}的通项公式a_n的表达式；
（2）用适当的方法证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）利用a1=1，an+1=

an

1+2an

(n∈N+)，n分别取2，3，4，可求出a₂，a₃，a₄，并由此猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=

1

2×1-1

=1，猜想成立；②假设当n=k时成立，利用an+1=

an

1+2an

(n∈N+)，可证得当n=k+1时猜想也成立，故可得结论．

解答：解：（1）∵a1=1，an+1=

an

1+2an

(n∈N+)．
∴a2=

1

1+2

=

1

3

…．（1分）
a3=

1 3

1+ 2 3

=

1

5

…（2分）
a4=

1 5

1+ 2 5

=

1

7

…（3分）
由此猜想数列{a_n}的通项公式an=

1

2n-1

(n∈N+)…..（5分）
（2）下面用数学归纳法证明
①当n=1时，a1=

1

2×1-1

=1，猜想成立…..（6分）
②假设当n=k（k∈N⁺，k≥1）猜想成立，即ak=

1

2k-1

…．（7分）
∵an+1=

an

1+2an

(n∈N+)．…（8分）
∴ak+1=

ak

1+2ak

=

1 2k-1

1+ 2 2k-1

=

1

2k+1

…（12分）
即当n=k+1时猜想也成立…..（13分）
根据①和②，可知猜想对任何n∈N⁺都成立…..（14分）
（用其他方法正确证明也给分）

点评：本题以数列递推式为载体，考查数列的通项的猜想与证明，解题的关键是利用数学归纳法证明，尤其第二步的证明．