Question

（2013•石景山区二模）已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是

(1，

4

3

]

．

Answer 1

分析：由正数a，b，c满足a+b=ab，利用基本不等式即可得出ab≥4．由a+b+c=abc，变形为c=1+

1

ab-1

即可得出．

解答：解：∵正数a，b，c满足a+b=ab，∴ab≥2

ab

，化为

ab

(

ab

-2)≥0，
∴

ab

≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab∈[4，+∞）．
∵a+b+c=abc，∴ab+c=abc，∴c=

ab

ab-1

=

ab-1+1

ab-1

=1+

1

ab-1

．
∵ab≥4，∴1＜1+

1

ab-1

≤

4

3

，∴1＜1+

1

ab-1

≤

4

3

．
∴c的取值范围是(1，

4

3

]．
故答案为(1，

4

3

]．

点评：恰当变形利用基本不等式的性质和不等式的基本性质是解题的关键．