Question

已知f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=(2cosx，-

3

sin2x)，

b

=（cosx，1）（x∈R）
（Ⅰ）求f （x）的周期和单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=-1，a=

7

，

AB

•

AC

=3，求边长b和c的值（b＞c）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为1+2cos(2x+

π

3

)，由此求出最小正周期和单调减区间．
（2）由f （A）=1求得cos(2A+

π

3

)=-1，再根据2A+

π

3

的范围求出2A+

π

3

的值，从而求出A的值，再由

AB

•

AC

=3 和余弦定理求得b和c的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意知：
f（x）=

a

•

b

=2cos2x-

3

sin2x=1+cos2x-

3

sin2x=1+2cos(2x+

π

3

)，
∴f（x）的最小正周期 T=π．…（4分）
由 2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，k∈z，求得kπ-

π

6

≤ x ≤ kπ+

π

3

，k∈z．
∴f（x）的单调递减区间[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z，k∈z．…（6分）
（2）∵f （A）=1+2cos(2A+

π

3

)=-1，∴cos(2A+

π

3

)=-1，…（8分）
又

π

3

＜2A+

π

3

＜

7π

3

，∴2A+

π

3

=π，A=

π

3

．…（9分）
∵

AB

•

AC

=3 即bc=6，由余弦定理得  a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，7=（b+c）²-18，b+c=5，…（11分）
又b＞c，∴b=3，c=2．…（12分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性和周期性，余弦定理的应用，属于中档题．