Question

【题目】若区间[x1 ， x2]的 长 度 定 义 为|x2﹣x1|，函数f（x）= （m∈R，m≠0）的定义域和值域都是[a，b]，则区间[a，b]的最大长度为（ ）
A.
B.
C.
D.3

Answer 1

【答案】A
【解析】解：函数f（x）= （m∈R，m≠0）的定义域是{x|x≠0}，则[m，n]是其定义域的子集，

∴[m，n]（﹣∞，0）或（0，+∞）．

f（x）= = ﹣ 在区间[a，b]上时增函数，

则有： ，

故a，b是方程f（x）= ﹣ =x的同号相异的实数根，

即a，b是方程（mx）2﹣（m2+m）x+1=0同号相异的实数根．

那么ab= ，a+b= ，只需要△＞0，

即（m2+m）2﹣4m2＞0，解得：m＞1或m＜﹣3．

那么：n﹣m= = ，

故b﹣a的最大值为 ，

故选：A．

【考点精析】本题主要考查了函数的定义域及其求法和函数的值域的相关知识点，需要掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的才能正确解答此题．