Question

7．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且右焦点F到左准线的距离为6$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．
（i）当直线PA的斜率为$\frac{1}{2}$时，求△MFN的外接圆的方程；
（ii）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△PAQ的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，右焦点F到左准线的距离c+$\frac{{a}^{2}}{c}$=6$\sqrt{2}$，即可求得c和a的值，则b²=a²-c²=8，即可求得椭圆方程；
（2）（i）设直线方程为：y=$\frac{1}{2}$（x+4），求得M点，即可求得NF的方程和N的坐标，则丨MN丨=6，则以MN为圆心（0，-1），半径为3，即x²+（y+1）²=9；
（ii）设直线方程为：y=k（x+4），代入椭圆方程，求得P点坐标，求得直线PF方程，则求得N点坐标，则直线AN：y=-$\frac{1}{2k}$-$\frac{2}{k}$，代入椭圆方程，求得M点坐标，求得丨AM丨，△PAQ的面积S=$\frac{丨AM丨丨{y}_{P}-{y}_{Q}丨}{2}$=$\frac{64{k}^{3}+48k}{（2{k}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{16（4k+\frac{3}{k}）}{（2k+\frac{1}{k}）^{2}}$≤$\frac{16×（4×\frac{1}{\sqrt{2}}+3\sqrt{2}）}{（2\sqrt{2}）^{2}}$=10$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）由题意可知：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，
由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，
由右焦点F到左准线的距离c+$\frac{{a}^{2}}{c}$=6$\sqrt{2}$，
解得：c=2$\sqrt{2}$，则a=4，
由b²=a²-c²=8，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（2）（i）由（1）可知：椭圆的左顶点（-4，0），F（2$\sqrt{2}$，0），
设直线方程为：y=$\frac{1}{2}$（x+4），即y=$\frac{1}{2}$x+2，
则M（0，2），
k_MF=$\frac{0-2}{2\sqrt{2}-0}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则k_NF=$\sqrt{2}$，
直线NF：y=$\sqrt{2}$（x-2$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$x-4，则N（0，-4），
丨MN丨=6，则以MN为圆心（0，-1），半径为3，即x²+（y+1）²=9，
（ii）设直线方程为：y=k（x+4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+4）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+16k²x+32k²-16=0，
解得：x₁=-4，x₂=$\frac{4-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，则y₂=$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，
则P（$\frac{4-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$），
∴k_MF=$\frac{-4k}{2\sqrt{2}}$=-$\sqrt{2}$k，由M（0，4k），F（2$\sqrt{2}$，0），
∴k_NF=$\frac{1}{\sqrt{2}k}$，则NF：y=$\frac{1}{\sqrt{2}k}$（x-2$\sqrt{2}$），
则N（0，-$\frac{2}{k}$），
则直线AN：y=-$\frac{1}{2k}$x-$\frac{2}{k}$，
代入椭圆方程：整理得：（1+$\frac{1}{2{k}^{2}}$）x²+$\frac{4}{{k}^{2}}$x+$\frac{8}{{k}^{2}}$-16=0，
解得：x₁=-4，x₂=$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，则y₂=-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，则Q（$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$），
直线PQ的斜率k_PQ=$\frac{2k}{1-2{k}^{2}}$，则直线PQ方程y-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2k}{1-2{k}^{2}}$（x-$\frac{4-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），
点A（-4，0）到直线PQ的距离d=$\frac{8丨k丨}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
由两点之间的距离公式丨PQ丨=$\frac{8\sqrt{1+4{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
则△PAQ的面积S，S=$\frac{1}{2}$丨PQ丨•d=$\frac{1}{2}$×$\frac{8\sqrt{1+4{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$•$\frac{8丨k丨}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{32丨k丨}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{32}{\frac{1}{丨k丨}+2丨k丨}$≤$\frac{32}{2\sqrt{2}}$=8$\sqrt{2}$，
当且仅当2丨k丨=$\frac{1}{丨k丨}$，即k=$\frac{1}{\sqrt{2}}$时，取最大值，
△PAQ的面积的最大值8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考三角形的面积公式的应用，考查基本不等式的综合应用，属于难题．