Question

9．设F₁，F₂为椭圆 $C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点，经过F₁的直线交椭圆C于A，B两点，若△F₂AB是面积为$4\sqrt{3}$的等边三角形，则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

Answer 1

分析 由题设条件知列出a，b，c的方程，结合三角形的面积，求出a，b求出椭圆的方程．

解答 解：F₁，F₂为椭圆 $C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点，经过F₁的直线交椭圆C于A，B两点，若△F₂AB是面积为$4\sqrt{3}$的等边三角形，
可得：$\frac{{b}^{2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}×2c$，$\frac{1}{2}$×$2c×\frac{{b}^{2}}{a}$=4$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，解得a²=18，b²=12，c²=6．
所求的椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

点评 本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．