Question

【题目】已知函数 ，直线l：x﹣ty﹣2=0．
（1）若直线l与曲线y=f（x）有且仅有一个公共点，求公共点横坐标的值；
（2）若0＜m＜n，m+n≤2，求证：f（m）＞f（n）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得f′（x）= （x＞0），

当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，

根据直线l的方程x=ty+2，可得l恒过点（2，0），

①当t=0时，直线l：x=2垂直x轴，与曲线y=f（x）相交于一点，即交点横坐标为2；

②当t≠0时，设切点A（x0，y0），直线l可化为 ，斜率k= =f′（x0）= ，

又直线l和曲线y=f（x）均过点A（x0，y0），则满足 ，

∴ = = = = ，两边约去t后，

可得 ，化简得 ，

解得： ，

综上所述，该公共点的横坐标为2和 ；

（2）证明：①若0＜m＜n≤1时，由（1）可知，f（x）在（0，1）上单调递减，

∴f（m）＞f（n）；

②若0＜m＜1，n＞1时，欲证f（m）＞f（n），由题意m+n≤2，由（1）可知f（x）在（1，+∞）上单调递减，

只需证f（m）＞f（2﹣m）对m∈（0，1）恒成立即可．

设函数φ（m）=f（m）﹣f（2﹣m），则 ，

即 ，

设 ，则 ，

易知x∈（0，2）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（2，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，

当m∈（0，1）时，有2﹣m∈（1，2），且满足2﹣m＞m，故h（m）﹣h（2﹣m）＞0，

即 ，又m﹣1＜0，则φ'（m）＜0，

∴φ（m）在（0，1）上单调递减，有φ（m）＞φ（1）=0，

即f（m）＞f（2﹣m），故f（m）＞f（n）．

综上，f（m）＞f（n）．

【解析】（1）求出原函数的导函数，得到函数的单调区间，由直线方程可知直线过定点，然后分t=0和t≠0分类求解A的横坐标；（2）若0＜m＜n≤1时，由（1）可知，f（x）在（0，1）上单调递减，可得f（m）＞f（n）；若0＜m＜1，n＞1，把证明f（m）＞f（n）转化为证f（m）＞f（2﹣m）对m∈（0，1）恒成立即可．构造函数φ（m）=f（m）﹣f（2﹣m），利用两次求导加以证明．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．