Question

14．若函数f（x）=|$\frac{{x}^{2}+4x+1}{x}$|-a的图象与x轴恰有四个不同的交点，则实数a的取值范围为（0，2）∪（6，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得函数y=|$\frac{{x}^{2}+4x+1}{x}$|=|x+$\frac{1}{x}$+4|的图象和直线y=a有4个交点，数形结合可得a的范围．

解答 解：函数f（x）=|$\frac{{x}^{2}+4x+1}{x}$|-a的图象与x轴恰有
四个不同的交点，
即函数y=|$\frac{{x}^{2}+4x+1}{x}$|=|x+$\frac{1}{x}$+4|的图象和直线y=a有
4个交点．
对于 y=|$\frac{{x}^{2}+4x+1}{x}$|=|x+$\frac{1}{x}$+4|=
$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}+4，x＞0}\\{x+\frac{1}{x}+4，x∈（-2-\sqrt{3}，-2+\sqrt{3}）}\\{-x-\frac{1}{x}-4，x≤-2-\sqrt{3}或-2+\sqrt{3}≤x＜0}\end{array}\right.$．
如图所示：
则实数a∈（0，2）∪（6，+∞），
故答案为：（0，2）∪（6，+∞）．

点评 函数的零点与方程的根的关系，方程根的存在性以及个数判断，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．