Question

6．已知，如图∠A=45°，∠ACE=∠CDE=90°，点B在CE上，CB=CD，过A、C、D三点的圆交AB于点F，求证：点F是△CDE的内心．

Answer 1

分析 连FC、FD、FE，然后证其中两个为相应的角平分线．

解答 证明：如图，连DF，则由已知，
∵∠CDF=∠CAB=45°=$\frac{1}{2}$∠CDE，
∴DF为∠CDE的平分线，
连BD、CF，由CD=CB，知∠FBD=∠CBD-45°=∠CDB-45°=∠FDB，
得FB=FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，
从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线．
∵F是△CDE上两条角平分线的交点，
∴点F是△CDE的内心．

点评 此题考查了三角形内心的判定．注意三角形的内心即是三角形角平分线的交点．注意数形结合思想的应用．