Question

设双曲线方程的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为．
（1）求双曲线的离心率；
（2）经过该双曲线的右焦点且斜率为2的直线m被双曲线截得的弦长为15，求双曲线的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）a＞b可得e＞，可设直线l的方程为，由原点到直线l的距离为得，结合e＞可求e
（2）由（1）知道e=2即c=2a，所以设双曲线的方程为，又由题意得直线m方程为y=2（x-2a），代入双曲线方程得，记直线m与双曲线的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），结合方程的根与系数关系及弦长公式可求a，进而可求双曲线方程
解答：解：（1）…（2分）
直线l的方程为，即bx+ay-ab=0，由原点到直线l的距离为得，即16a²（c²-a²）=3c⁴，…（4分）
两边同时除以a⁴得16（e²-1）=3e⁴，整理得3e⁴-16e²+16=0，解得…（5分）
又，故双曲线的离心率为e=2…（6分）
（2）由（1）知道e=2即c=2a，所以设双曲线的方程为
又由题意得直线m方程为y=2（x-2a），代入双曲线方程得 …（7分）
3x²-4（x-2a）²=3a²，整理得x²-16ax+19a²=0…（8分）
记直线m与双曲线的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁+x₂=16a，x₁x₂=19a²…（9分）∴∴…（11分）
∴所求双曲线方程为…（12分）
点评：本题主要考查了利用双曲线的性质求解双曲线的离心率，求解双曲线的方程，直线与双曲线的相叫关系的应用，方程的根与系数的关系的应用，属于知识的综合应用．